수학의 아름다움과 난제의 해결 - 『푸앵카레의 추측』이 던지는 도전

 이 책은 1904년 프랑스의 한 수학자이자 ‘지의 거인’으로 불리는 앙리푸앵카레가 자신의 논문 마지막에 남긴 한 가지 질문이 100년 동안 어떻게 풀렸는가에 대한 책이다. 책을 읽기 전 중학교 때 위상도형에 관한 수업과 영상을 봤었기에 푸앵카레의 추측을 페렐만이 풀었다는 사실은 이미 알고 있었다. 하지만 이 책은 내가 미처 알지 못했던 이 추측을 풀기 위한 여러 수학자들의 노력과 그 과정을 알게 해 주었다.

 

 앙리 푸앵카레가 남긴 질문은 바로 ‘기본 군의 영인 3차원 다양체가 3차원 구와 위상도형이 될 가능성 이 있을까?’였다. 조금 더 쉽게 이야기하면 이 질문은 우주공간의 형태에 관한 의문이라고 할 수 있다.

 

 이 책은 1904년, 푸앵카레의 추측이 탄생한 순간부터 시작한다. 처음 푸앵카레의 추측이 탄생한 후 처 음에는 이 문제가 중요하다고 인식되지 않았으며 그로부터 30년이 지난 1930년대에 들어 수학자 헨리 화이트헤드와 허비츠가 본질적이 문제라 인식을 하며 이에 관심을 갖기 시작했다. 그 후 이 질문은 19050년대에는 모든 과학자들과 수학자들에게 의문의 대상이 되었고, 이를 해결하기 위해 평생을 바친 수학자들이 소개되고 있다. 크리스토스 파파킬리아코풀로스와 볼프강 하켄, 스티븐 스메일 등이 나온다.

 

 여러 수학자들 중에서 특히 천재수학자라 불리던 윌리엄 서스턴에 대한 이야기가 가장 인상적이었다. 그는 이 문제를 보는 관점을 바꾼 장본인이다. 3차원에서의 우주의 형태를 8개로 압축해 내는 데 성공했고 이를 ‘기하화 추측’이라 한다. 이는 나중에 페렐만이 푸앵카레의 추측을 푸는 데에 공헌을 한다. 그는 이렇게 뛰어난 추측을 만들어냈지만 정작 본인이 해결하려는 노력은 하지 않았다. 그 이유는 그가 의도 치 않게 한 연구 분야를 쇠퇴시킨 사건 이후 수학을 대하는 태도가 달라졌기 때문이다. 이 뒤에 나오는 변화된 그의 생각을 보고 그를 정말 존경하게 되었다. 그의 생각을 정리하자면 훌륭한 정리를 계속 증 명하는 것이 반드시 수학 발전으로 이어지지 않으며, 수학은 사람들의 대화 위에 성립하는 학문이라는 것이다. 결론적으로 과정이 더 중요한 학문이라는 점이다. 서로 소통하고 논의하는 등의 과정 말이다.

 

 나는 이 책을 읽고 수학이란 무엇인지 다시 한번 생각해 보게 되었다. 수학은 문제를 푸는 과정뿐 만 이 아니라 그 해결방식을 탐구해 나가는 과정 역시 굉장히 중요하다고 느꼈다. 이 책은 수학에 대해 무 관심해지거나 반복되는 문제 풀이에 지쳐가는 사람들에게 수학의 다른 모습을 보여줄 수 있기에 추천해 주고 싶다.